Question

3．在區(qū)間[0，2]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，則函數(shù)f（x）=x²+ax-$\frac{1}{4}$b²+1在區(qū)間（-1，1）沒有零點(diǎn)的概率為（　　）

• A． $\frac{π}{8}$
• B． $\frac{4-π}{4}$
• C． $\frac{4-π}{8}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在區(qū)間（-1，1）沒有零點(diǎn)的等價(jià)條件，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答 解：在區(qū)間[0，2]上任取兩個(gè)數(shù)a，b，
則$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤2}\\{0≤b≤2}\end{array}\right.$，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)檫呴L為2的正方形，面積為2×2=4，
∵0≤a≤2，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{a}{2}$∈[-1，0]?[-1，1），
則當(dāng)x=-$\frac{a}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最小值，
∵0≤b≤2，∴f（0）=1-$\frac{1}{4}$b²∈[0，1]，即當(dāng)0≤x＜1上f（x）＞0，
∴要使函數(shù)f（x）=x²+ax-$\frac{1}{4}$b²+1在區(qū)間（-1，1）沒有零點(diǎn)，
則函數(shù)的最小值$\frac{4×1×（1-\frac{^{2}}{4}）-{a}^{2}}{4}$=$\frac{4-^{2}-{a}^{2}}{4}$＞0，
即a²+b²＜4，
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分），
對(duì)應(yīng)的面積S=$\frac{1}{4}×π×{2}^{2}=π$，
則對(duì)應(yīng)的概率P=$\frac{π}{4}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，根據(jù)函數(shù)沒有零點(diǎn)的等價(jià)條件求出a，b的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．利用數(shù)形結(jié)合和線性規(guī)劃是解決本題的突破．