Question

3．如圖，圓O為△ABC的外接圓，D為$\widehat{AC}$的中點，BD交AC于E．
（Ⅰ）證明：AD²=DE•DB；
（Ⅱ）若AD∥BC，DE=2EB，AD=$\sqrt{6}$，求圓O的半徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OD，OC，推導(dǎo)出△BAD∽△AED，由此能證明AD²=DE•DB．
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，推導(dǎo)出△BEC∽△AED，從而求出BE=CE=1，DE=AE=2，由此能求出圓半徑．

解答 證明：（Ⅰ）連接OD，OC，
∵D是弧AC的中點，∴∠ABD=∠CBD 
∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD 
∵∠BDA=∠EDA∴△BAD∽△AED 
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{AD}{BD}$，
∴AD²=DE•DB．
解：（2）∵D是弧AC的中點，∴OD⊥AC，
∵AD∥BC，DE=2EB，AD=$\sqrt{6}$，△BEC∽△AED，∴BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴∠ACB=∠DAC，∠BDC=∠ADB，
∵∠ADB=∠ACB，∠DAC=∠DBC，∴BE=CE，AE=DE，
延長DO交AC于F，交圓于G，
設(shè)BE=x，則DE=2x，
∵AD²=DE•DB，∴6=2x•3x，解得BE=CE=1，DE=AE=2，
∴AF=CF=$\frac{3}{2}$，DF=$\sqrt{6-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
設(shè)圓半徑為r，則 OC=r，
∴r²=（$\frac{\sqrt{15}}{2}$-r）²+（$\frac{3}{2}$）²，解得r=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．
∴圓半徑為$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查AD²=DE•DB的證明，考查圓的半徑的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意垂徑定理、相交弦定理的合理運用．