Question

6．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）．
（1）若函數(shù)f（x）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，1]上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）得出x²-2ax+3＞0，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解
（2）判斷出y=x²-2ax+3圖象不能在x軸上方，根據(jù)二次函數(shù)得出△=4a²-12＞0，
（3）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，定義域等轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{1-2a+3＞0}\end{array}\right.$求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）．
（1）∵函數(shù)f（x）的定義域為R
∴x²-2ax+3＞0，即△=4a²-12＜0
$-\sqrt{3}$$＜a＜\sqrt{3}$
故實數(shù)a的取值范圍：（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
（2）∵函數(shù)f（x）的值域為R，
∴y=x²-2ax+3圖象不能在x軸上方，
故△=4a²-12≥0，
即a≤$-\sqrt{3}$或a≥$\sqrt{3}$，
實數(shù)a的取值范圍（-∞，$-\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）
（3）∵函數(shù)f（x）在（-∞，1]上為增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出不等式組：$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{1-2a+3＞0}\end{array}\right.$
即1≤a＜2

點評 本題考察了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，不等式問題，屬于綜合問題，關(guān)鍵理解轉(zhuǎn)化問題．