Question

13．某中學(xué)舉行了一次“愛我黃山知識競賽”活動，為了了解本次競賽的學(xué)生成績，從中抽取了部分學(xué)生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[80，90）的數(shù)據(jù)）．
（Ⅰ）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值；
（Ⅱ）在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上的同學(xué)中隨機抽取4名同學(xué)到市政廣場參加環(huán)保知識宣傳的志愿者活動．設(shè)X表示所抽取的4名同學(xué)中得分在[85，100]的學(xué)生個數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知0.016=$\frac{8}{n×10}$，由此能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值．
（Ⅱ）由題意，分數(shù)在[90，100]有2人，分數(shù)在[80，90）有5人，共7人，其中分數(shù)在[80，85）有3人，在[85，100]有4人，則分數(shù)在[85，100]的學(xué)生個數(shù)X的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由題意知0.016=$\frac{8}{n×10}$，解得n=50，
∴y=$\frac{5}{50×10}$=0.01，
x=[1-10（0.004+0.01+0.016+0.04）]÷10=0.03．
（Ⅱ）由題意，分數(shù)在[90，100]有2人，分數(shù)在[80，90）有5人，共7人，
其中分數(shù)在[80，85）有3人，在[85，100]有4人，
則分數(shù)在[85，100]的學(xué)生個數(shù)X的可能取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{35}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{18}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{4}^{4}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

E（X）=$\frac{4+36+36+4}{35}$=$\frac{16}{7}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．