Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n與通項a_n滿足2S_n+a_n=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{c_n}滿足c_n=na_n，求證：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求得n=1時數(shù)列的首項，再求n＞1時，運用相減，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求；
（2）求得c_n=na_n=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁，2S₁+a₁=1，
解得a₁=$\frac{1}{3}$；
當n＞1時，2S_n+a_n=1，可得2S_n-1+a_n-1=1，
即有2a_n+a_n=a_n-1，即為a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
則數(shù)列{a_n}為首項為$\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
即有a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ：
（2）證明：c_n=na_n=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{9}$+3•$\frac{1}{27}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$S_n=1•$\frac{1}{9}$+2•$\frac{1}{27}$+3•$\frac{1}{81}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{2}{3}$S_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得S_n=$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\frac{3}{2}$n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，屬于中檔題．