Question

4．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（0，1）的距離與動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定直線l：y=3的距離之和為4，若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．垂直于x軸的直線與曲線C交于相異兩點(diǎn)A、B．
（1）求曲線C的方程；
（2）判斷△ABF的周長(zhǎng)是否為定值．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（0，1）的距離與動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定直線l：y=3的距離之和為4，由此等量關(guān)系建立方程求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）直線x=a（-2$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$），代入曲線C，不妨設(shè)A（a，4-$\frac{{a}^{2}}{12}$），B（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），則|AF|=$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，|BF|=7-（4-$\frac{{a}^{2}}{12}$），|AB|=4-$\frac{{a}^{2}}{12}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），由題意有$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$+|y-3|=4
當(dāng)y≥3時(shí)，有$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$+y-3=4，整理得x²=-12（y-4）；
當(dāng)y＜3時(shí)，有$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$+3-y=4，整理得x²=4y；
（2）直線x=a（-2$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$），代入曲線C，不妨設(shè)A（a，4-$\frac{{a}^{2}}{12}$），B（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），則
|AF|=$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，|BF|=7-（4-$\frac{{a}^{2}}{12}$），|AB|=4-$\frac{{a}^{2}}{12}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴△ABF的周長(zhǎng)是4-$\frac{{a}^{2}}{12}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$-1+7-（4-$\frac{{a}^{2}}{12}$）=6是定值．

點(diǎn)評(píng) 本題以軌跡方程為載體，考查求軌跡方程，同時(shí)考查直線與曲線的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，從而建立起關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)的方程，這是求軌跡方程時(shí)常用方法，也是一個(gè)常規(guī)方法，應(yīng)總結(jié)此方法的步驟規(guī)律．