Question

給出下列命題：
①若函數(shù)f（x）=asinx+cosx的一個對稱中心是（

π

6

，0），則a的值為-

3

；
②函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

2

）在區(qū)間[0，

π

2

]上單調(diào)遞減；
③已知函數(shù)f（x）=sin（2x+ϕ）（-π＜ϕ＜π），若-|f（

π

6

）|≤f（x）對任意x∈R恒成立，則ϕ=

π

6

或-

5π

6

；
④函數(shù)f（x）=|sin（2x-

π

3

）+1|的最小正周期為π．
其中正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：將（

π

6

，0）代入可判斷①；根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，可判斷②；根據(jù)正弦函數(shù)的最值，可判斷③，根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性，可判斷④

解答： 解：將（

π

6

，0）代入f（x）=asinx+cosx得：

1

2

a+

3

2

=0，解得a=-

3

，故①正確；
由2x+

π

2

∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z得：x∈[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈Z，故函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

2

）在區(qū)間[0，

π

4

]上單調(diào)遞減，在[

π

4

，

π

2

]上遞增，故②錯誤；
由已知可得f（

π

6

）為函數(shù)f（x）的最值，故2×

π

6

+ϕ=

π

2

+2kπ，k∈Z，又由-π＜ϕ＜π可得：ϕ=

π

6

或-

5π

6

，故③正確；
函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）+1的最小正周期為π，函數(shù)f（x）=|sin（2x-

π

3

）+1|=sin（2x-

π

3

）+1，故④正確；
故答案為：①③④

點評：本題考查的知識點是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，難度中檔．