Question

6．直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=at}\\{y=1-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C：ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）（極軸與x軸的非負半軸重合，且單位長度相同），若圓C上至少有三個點到直線l的距離恰為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{2}{7}$，2]．

Answer 1

分析 求出直線l與圓C的普通方程得出圓C的半徑，利用點到直線的距離公式列出不等式解出a的范圍．

解答 解：直線l的普通方程為2x+ay-a=0．
∵ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），∴ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，
∴圓C的直角坐標方程為：x²+y²=2x-2y，即（x-1）²+（y+1）²=2．
∴圓C的圓心為C（1，-1），圓C的半徑r=$\sqrt{2}$．
∵圓C上至少有三個點到直線l的距離恰為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圓心C到直線l的距離0≤d≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．即0≤$\frac{|2-a-a|}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解得$\frac{2}{7}≤a≤2$．
故答案為：[$\frac{2}{7}$，2]．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．