Question

18．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．
（1）求$f（\frac{5π}{4}）$的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R，$sin\frac{5π}{4}$=-$sin\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$cos\frac{5π}{4}$=-$cos\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．代入計(jì)算即可得出．
（2）利用倍角公式、和差公式即可化為：f（x）=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$．
（3）當(dāng)$0≤x≤\frac{π}{2}$時(shí)，可得$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性最值即可得出．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R，$sin\frac{5π}{4}$=-$sin\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$cos\frac{5π}{4}$=-$cos\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$f（\frac{5π}{4}）$=$2cos\frac{5π}{4}（sin\frac{5π}{4}+cos\frac{5π}{4}）$=$-2×\frac{\sqrt{2}}{2}$$（-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=2．
（2）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤$2x+\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），解得$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]$（k∈Z）．
（3）當(dāng)$0≤x≤\frac{π}{2}$時(shí)，$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，∴當(dāng)$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{8}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值$\sqrt{2}+1$，
當(dāng)$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$，即$x=\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、倍角公式、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．