Question

6．在銳角△ABC中，已知sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，sin（A-B）=$\frac{1}{5}$．
（1）求證：tanA=2tanB；
（2）求tan（A+B）及tanB．

Answer 1

分析 （1）由sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，sin（A-B）=$\frac{1}{5}$，展開(kāi)解方程組得$\left\{\begin{array}{l}{sinAcosB=\frac{2}{5}}\\{cosAsinB=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．
（2）由于$\frac{π}{2}$＜A+B＜π，可得cos（A+B）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（A+B）}$，tan（A+B），利用tan（A+B）=-$\frac{3}{4}$=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，將tanA=2tanB代入解出即可得出．

解答 （1）證明：由sin（A+B）=$\frac{3}{5}$，sin（A-B）=$\frac{1}{5}$，
展開(kāi)：sinAcosB+cosAsinB=$\frac{3}{5}$，
sinAcosB-cosAsinB=$\frac{1}{5}$，
解方程組得$\left\{\begin{array}{l}{sinAcosB=\frac{2}{5}}\\{cosAsinB=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{tanA}{tanB}$=2；即tanA=2tanB．
（2）∵$\frac{π}{2}$＜A+B＜π，
∴cos（A+B）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（A+B）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴tan（A+B）=-$\frac{3}{4}$，
由tan（A+B）=-$\frac{3}{4}$=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
將tanA=2tanB代入得2tan²B-4tanB-1=0，
根據(jù)求根公式解出tanB=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$或tanB=$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$．
∵△ABC為銳角三角形，∴tanB=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的求值、和差公式、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．