Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+2，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_nb_n，n∈N^*，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n計算可知a_n+1=2ⁿ⁺¹，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}的通項a_n=2ⁿ；通過b_n+1=b_n+2、b₁=1計算即可；
（2）通過a_n=2ⁿ、b_n=2n-1可知c_n=（2n-1）2ⁿ，n∈N^*，利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n+1=2ⁿ⁺²-2，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（2ⁿ⁺²-2）-（2ⁿ⁺¹-2）=2ⁿ⁺¹，
又∵a₁=S₁=2²-2=2滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項a_n=2ⁿ；
∵b_n+1=b_n+2，b₁=1，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，
∴b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）∵a_n=2ⁿ，b_n=2n-1，
∴c_n=a_nb_n=（2n-1）2ⁿ，n∈N^*，
∴T_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-T_n=2¹+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-6-（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．