Question

15．已知點(diǎn)G為△ABC的重心，直線l過點(diǎn)G交邊AB于點(diǎn)P，交邊AC于點(diǎn)Q，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=μ$\overrightarrow{AC}$．證明：$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$為常數(shù)．

Answer 1

分析 先設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，接AG并延長AG交BC于M，此時M是BC的中點(diǎn)．于是$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$），$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$），因?yàn)镻、G、Q三點(diǎn)共線，建立關(guān)于參數(shù)的等式，消去參數(shù)t即得結(jié)論．

解答 證明：設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，連接AG并延長AG交BC于M，此時M是BC的中點(diǎn)．
于是$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$），$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$），
又由已知$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=μ$\overrightarrow{AC}$
∴$\overrightarrow{PQ}$=μ$\overrightarrow$-λ$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{AG}$+$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{1}{3}$-λ）$\overrightarrow{c}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$
因?yàn)镻、G、Q三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)t，滿足$\overrightarrow{PG}$=t$\overrightarrow{PQ}$
所以（$\frac{1}{3}$-λ）$\overrightarrow{c}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$=tμ$\overrightarrow$-tλ$\overrightarrow{c}$
由向量相等的條件得 $\frac{1}{3}$-λ=-tλ，$\frac{1}{3}$=tμ消去參數(shù)t得，$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=3．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義，向量的共線定理，及三角形的重心，其中根據(jù)向量共線，根據(jù)共線向量基本定理知，存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{PG}$=t$\overrightarrow{PQ}$，進(jìn)而得到x，y的關(guān)系式，是解答本題的關(guān)鍵．