Question

3．某市教育局邀請(qǐng)教育專家深入該市多所中小學(xué)，開(kāi)展聽(tīng)課、訪談及隨堂檢測(cè)等活動(dòng)．他們把收集到的180節(jié)課分為三類課堂教學(xué)模式：教師主講的為A模式，少數(shù)學(xué)生參與的為B模式，多數(shù)學(xué)生參與的為C模式．A、B、C三類課的節(jié)數(shù)比例為3：2：1
（Ⅰ）為便于研究分析，教育專家將A模式稱為傳統(tǒng)課堂模式，B、C統(tǒng)稱為新課堂模式，根據(jù)隨堂檢測(cè)結(jié)果，把課堂教學(xué)效率分為高效和非高效，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)得到如下2×2列聯(lián)表（單位：節(jié)），請(qǐng)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)回答：有沒(méi)有99%的把握認(rèn)為課堂教學(xué)效率與教學(xué)模式有關(guān)？并說(shuō)明理由．

	高效	非高效	統(tǒng)計(jì)
新課常模式	60	30	90
傳統(tǒng)課堂模式	40	50	90
統(tǒng)計(jì)	100	80	180

（Ⅱ）教育專家采用分層抽樣的方法從收集到的180節(jié)課中選出18節(jié)課作為樣本進(jìn)行研究，并從樣本的B模式和C模式課堂中隨機(jī)抽取3節(jié)課．
①求至少有一節(jié)為C模式課堂的概率；
②設(shè)隨機(jī)抽取的3節(jié)課中含有C模式課堂的節(jié)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考臨界值表：

P（K2≧K0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由列聯(lián)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，直接計(jì)算隨機(jī)變量K²的觀測(cè)值，然后推出結(jié)果即可．
（Ⅱ）①?gòu)臉颖局械腂、C模式課堂中隨機(jī)抽取3節(jié)課，故該實(shí)驗(yàn)為古典概型．求解概率即可．
②X的所有取值為0，1，2，3．求出概率，然后列出分布列計(jì)算期望．

解答 解：（Ⅰ）由列聯(lián)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算隨機(jī)變量K²的觀測(cè)值為：
K²=$\frac{180（60×50-40×30）^{2}}{100×80×90×90}$=9＞6.635
由臨界值表P（k²≥6.635）≈0.010，
故有99%的把握認(rèn)為課堂效率與教學(xué)模式有關(guān) …．（3分）
（Ⅱ）①?gòu)臉颖局械腂、C模式課堂中隨機(jī)抽取3節(jié)課，故該實(shí)驗(yàn)為古典概型．
事件M表示“抽取的3節(jié)課中至少有一節(jié)課為C模式課堂”．
則P（M）=$\frac{{C}_{9}^{3}-{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{16}{21}$…．（6分）
②X的所有取值為0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$．
所以隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

…．（10分）
所以E（X）=0×$\frac{5}{21}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{3}{14}$+3×$\frac{1}{84}$=1…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，對(duì)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．