Question

6．已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為1、1、2，頂點(diǎn)A、B、C、D在半球的底面內(nèi)，頂點(diǎn)A₁、B₁、C₁、D₁在半球球面上，則此半球的體積是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$π
• B． $\frac{9\sqrt{2}}{2}$π
• C． $\frac{9}{4}$π
• D． $\frac{9\sqrt{2}}{2}$π或$\frac{9π}{4}$

Answer 1

分析 在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD上再疊合一個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方體得到一個(gè)棱長(zhǎng)為1、1、4或1、2、2的長(zhǎng)方體，它內(nèi)接于球，求出球的直徑，即可求出半球的體積．

解答 解：在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD上再疊合一個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方體得到一個(gè)棱長(zhǎng)為1、1、4或1、2、2的長(zhǎng)方體，它內(nèi)接于球，則球的直徑$2R=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{4}^{2}}=3\sqrt{2}，或2R=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}=3，R=\frac{3\sqrt{2}}{2}或\frac{3}{2}$，根據(jù)球的體積公式$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$ 得球的體積為$9\sqrt{2}π$或$\frac{9π}{2}$，則半球的體積為$\frac{9\sqrt{2}π}{2}或\frac{9}{4}π$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 試題要求考生把半球與長(zhǎng)方體的外接和內(nèi)切問(wèn)題轉(zhuǎn)化為球與正方體的接切問(wèn)題，要求考生能根據(jù)條件作出正確的截面，將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，能正確分析出圖形中的基本元素及其相互關(guān)系，這些都是立體幾何教學(xué)的能力要求．