Question

3．已知命題p：f（x）=$\frac{x+1}{x+a}$在區(qū)間[2，+∞）上單調遞減；命題q：g（x）=log_a（-x²-x+2）的單調遞增區(qū)間為[-$\frac{1}{2}$，1）．若命題p∧q為真命題．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q成立的等價條件，結合復合命題真假之間的關系，建立不等式關系即可．

解答 解：f（x）=$\frac{x+1}{x+a}$=$\frac{x+a+1-a}{x+a}$=1+$\frac{1-a}{x+a}$，
若f（x）=$\frac{x+1}{x+a}$在區(qū)間[2，+∞）上單調遞減；
則$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞0}\\{-a＜2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a＞-2}\end{array}\right.$，解得-2＜a＜1，即p：-2＜a＜1，
設t=g（x）=-x²-x+2=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
則函數(shù)在[-$\frac{1}{2}$，1）上單調遞減，
若g（x）=log_a（-x²-x+2）的單調遞增區(qū)間為[-$\frac{1}{2}$，1）．
則y=log_at為減函數(shù)，則0＜a＜1，
且g（1）≥0，即-1-1+2=0≥0滿足條件．．
故q：0＜a＜1，
若命題p∧q為真命題，
則p，q同時為真命題，
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{-2＜a＜1}\end{array}\right.$，即0＜a＜1．

點評 本題主要考查復合命題真假關系的應用，根據(jù)條件求出命題p，q為真命題的等價條件是解決本題的關鍵．