Question

13．已知α、β∈（0，$\frac{π}{4}$），$\frac{tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{1}{4}$，且3sinβ=sin（2α+β），則α+β的值為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 由條件利用兩角和的正切公式求得tanα的值，再根據(jù)兩角和差的正弦公式，求得tan（α+β）=2tanα=1，從而求得 α+β的值．

解答 解：∵α、β∈（0，$\frac{π}{4}$），$\frac{tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{2}$tanα=$\frac{1}{4}$，∴tanα=$\frac{1}{2}$．
由3sinβ=sin（2α+β），可得3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
可得 2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，tan（α+β）=2tanα=1，
∴α+β=$\frac{π}{4}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和的正切公式，兩角和差的正弦公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．