Question

16．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=$\sqrt{6}$，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（1）求證：PA⊥平面PBC；
（2）求異面直線AB和PC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出BC⊥平面PAB，由此能證明PA⊥平面PBC．
（2）在底面ABC內(nèi)分別過A、C作BC、AB的平行線，交于點D，則∠PCD是異面直線AB和PC所成的角或其補(bǔ)角，由此能求出異面直線AB和PC所成角的余弦值．

解答 （1）證明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，
且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC．
又∵PA⊥PB，∴PA⊥平面PBC．
（2）解：在底面ABC內(nèi)分別過A、C作BC、AB的平行線，交于點D，
連接OC，OD，PD．
則∠PCD是異面直線AB和PC所成的角或其補(bǔ)角．
∵PA=PB=$\sqrt{6}$，PA⊥PB，∴AB=2$\sqrt{3}$，PO=BO=AO=$\sqrt{3}$．
∵AB⊥BC，∠BAC=30°，
∴BC=AB•tan30°=2，OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴PC=$\sqrt{P{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
由已知得底面ABCD為矩形，從而OC=OD，PC=PD．
在△PCD中，cos∠PCD=$\frac{\frac{1}{2}CD}{PC}=\frac{\sqrt{30}}{10}$，
∴異面直線AB和PC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．