Question

4．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得|PF₁|，2a，|PF₂|成等差數(shù)列，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （1，2]
• C． [2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 不妨設(shè)P在雙曲線右支，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，可得|PF₁|=3|PF₂|，利用雙曲線的第二定義，可得x關(guān)于e的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定e的范圍．

解答 解：∵雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得|PF₁|，2a，|PF₂|成等差數(shù)列，
∴|PF₁|+|PF₂|=4a，
不妨設(shè)P在雙曲線右支，則|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
∴|PF₁|=3|PF₂|，
設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x
∵|PF₁|=3|PF₂|，P在雙曲線右支（x≥a）
根據(jù)雙曲線的第二定義，可得3e（x-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）
∴ex=2a
∵x≥a，∴ex≥ea
∴2a≥ea，∴e≤2
∵e＞1，∴1＜e≤2
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了雙曲線的第二定義的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．