Question

7．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，記$c=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$．P是直線$x=\frac{a^2}{c}$上一點(diǎn)，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|•|PF₂|=4ab，則雙曲線的離心率是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 依題意，△PF₁F₂為直角三角形，利用勾股定理與雙曲線的定義，結(jié)合|PF₁|•|PF₂|=4ab，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：∵PF₁⊥PF₂，|F₁F₂|=2c，
∴點(diǎn)P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，m）在以原點(diǎn)為圓心，半徑為c的圓上，
∴（$\frac{{a}^{2}}{c}$）²+m²=c²，①
又|PF₁|•|PF₂|=|F₁F₂|•m=2cm=4ab，②
聯(lián)立①②得：m²=c²-（$\frac{{a}^{2}}{c}$）²=$\frac{4{a}^{2}（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{c}^{2}}$，
整理可得：e⁴-4e²+3=0，解得：e²=3或e²=1（舍去）
∴雙曲線的離心率e=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，通過方程組求得b=2a是關(guān)鍵，考查通過分析與轉(zhuǎn)化解決問題的能力，屬于中檔題．