Question

8．如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分別是線段PA、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求異面直線EF與BD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出PA⊥AD，由此利用面面垂直的性質(zhì)定理能證明PA⊥平面ABCD．
（2）法一：取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)EM、FM，則FM∥BD，從而∠EFM（或其補(bǔ)角）就是異面直線EF與BD所成的角，由此利用余弦定理能求出異面直線EF與BD所成角的余弦值．
法二：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出異面直線EF與BD所成角的余弦值．

解答 （本題滿分12分）
（1）證明：由于平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD…（1分）
而∠PAD=90°即PA⊥AD，且PA?平面PAD…（2分）
由面面垂直的性質(zhì)定理得：PA⊥平面ABCD…（4分）
（2）解法一：取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)EM、FM，則FM∥BD，
∠EFM（或其補(bǔ)角）就是異面直線EF與BD所成的角．       …（6分）
設(shè)PA=2，則AD=DC=CB=BA=2，
$AM=\sqrt{A{B^2}+{{（\frac{1}{2}BC）}^2}}=\sqrt{5}$$BD=\sqrt{A{B^2}+A{D^2}}=2\sqrt{2}$…（8分）
Rt△MAE中，$EM=\sqrt{E{A^2}+A{M^2}}=\sqrt{6}$，
同理$EF=\sqrt{6}$，又$FM=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，…（10分）
∴△MFE中，由余弦定理得$cos∠EFM=\frac{{E{F^2}+F{M^2}-M{E^2}}}{2EF•FM}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，…（12分）
解法二：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)AB=2，…（6分）
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F(xiàn)（1，2，0）…（8分）
∵$\overrightarrow{EF}=（1，2，-1）$，$\overrightarrow{BD}=（-2，2，0）$，…（10分）
∴$cosβ=\frac{{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BD}}}{{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{BD}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查兩導(dǎo)面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．