分析 (1)求出函數(shù)的f′(x),通過(guò)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行.得到f′(1)=0,求出k,通過(guò)f′(x)=1xex(1-x-xln x),x∈(0,+∞),構(gòu)造h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),推出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)求出g(x)=1ex(1-x-xln x),x∈(0,+∞),利用h(x)=1-x-xln x,求導(dǎo)得h′(x),求出函數(shù)的最值,得到g(x)=1ex•h(x)<1+e-2,即可證明g(x)<1+e-2.
解答 解:(1)由f(x)=lnx+kex,x∈(0,+∞),得f′(x)=1−kx−xlnxxex,x∈(0,+∞).
由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行.所以f′(1)=0,因此k=1.…(2分)
得f′(x)=1xex(1-x-xln x),x∈(0,+∞),
令h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)<0.
又ex>0,所以x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0;x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0.
因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).…(6分)
(2)因?yàn)間(x)=xf′(x),所以g(x)=1ex(1-x-xln x),x∈(0,+∞),
由(1)得,h(x)=1-x-xln x,求導(dǎo)得h′(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e-2).
所以當(dāng)x∈(0,e-2)時(shí),h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(e-2,+∞)時(shí),h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減.…(9分)
所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h(x)≤h(e-2)=1+e-2.
又當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),0<1ex<1,
所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g(x)=1ex•h(x)<1+e-2,即g(x)<1+e-2.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,函數(shù)的最值以及構(gòu)造法的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | y軸對(duì)稱 | B. | 直線y=-x對(duì)稱 | C. | 坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 | D. | 直線y=x對(duì)稱 |
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A. | 1:2:3 | B. | 3:2:1 | C. | 2:\sqrt{3}:1 | D. | 1:\sqrt{3}:2 |
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