Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+k}{ex}$（k為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）） 處的切線與x軸平行．
（1）求k的值，并求f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的f′（x），通過(guò)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行．得到f′（1）=0，求出k，通過(guò)f′（x）=$\frac{1}{xex}$（1-x-xln x），x∈（0，+∞），構(gòu)造h（x）=1-x-xln x，x∈（0，+∞），推出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）求出g（x）=$\frac{1}{ex}$（1-x-xln x），x∈（0，+∞），利用h（x）=1-x-xln x，求導(dǎo)得h′（x），求出函數(shù)的最值，得到g（x）=$\frac{1}{ex}$•h（x）＜1+e^-2，即可證明g（x）＜1+e^-2．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{lnx+k}{ex}$，x∈（0，+∞），得f′（x）=$\frac{1-kx-xlnx}{xex}$，x∈（0，+∞）．
由于曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行．所以f′（1）=0，因此k=1．…（2分）
得f′（x）=$\frac{1}{xex}$（1-x-xln x），x∈（0，+∞），
令h（x）=1-x-xln x，x∈（0，+∞），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜0．
又e^x＞0，所以x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
因此f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．…（6分）
（2）因?yàn)間（x）=xf′（x），所以g（x）=$\frac{1}{ex}$（1-x-xln x），x∈（0，+∞），
由（1）得，h（x）=1-x-xln x，求導(dǎo)得h′（x）=-ln x-2=-（ln x-ln e^-2）．
所以當(dāng)x∈（0，e^-2）時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（e^-2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．…（9分）
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）≤h（e^-2）=1+e^-2．
又當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，0＜$\frac{1}{ex}$＜1，
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）=$\frac{1}{ex}$•h（x）＜1+e^-2，即g（x）＜1+e^-2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，函數(shù)的最值以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．