6.已知函數(shù)f(x)=$\frac{lnx+k}{ex}$(k為常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)) 處的切線與x軸平行.
(1)求k的值,并求f (x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)=xf′(x),其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:對任意x>0,g(x)<1+e-2

分析 (1)求出函數(shù)的f′(x),通過在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行.得到f′(1)=0,求出k,通過f′(x)=$\frac{1}{xex}$(1-x-xln x),x∈(0,+∞),構(gòu)造h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),推出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)求出g(x)=$\frac{1}{ex}$(1-x-xln x),x∈(0,+∞),利用h(x)=1-x-xln x,求導(dǎo)得h′(x),求出函數(shù)的最值,得到g(x)=$\frac{1}{ex}$•h(x)<1+e-2,即可證明g(x)<1+e-2

解答 解:(1)由f(x)=$\frac{lnx+k}{ex}$,x∈(0,+∞),得f′(x)=$\frac{1-kx-xlnx}{xex}$,x∈(0,+∞).
由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行.所以f′(1)=0,因此k=1.…(2分)
得f′(x)=$\frac{1}{xex}$(1-x-xln x),x∈(0,+∞),
令h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),
當(dāng)x∈(0,1)時,h(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,h(x)<0.
又ex>0,所以x∈(0,1)時,f′(x)>0;x∈(1,+∞)時,f′(x)<0.
因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).…(6分)
(2)因?yàn)間(x)=xf′(x),所以g(x)=$\frac{1}{ex}$(1-x-xln x),x∈(0,+∞),
由(1)得,h(x)=1-x-xln x,求導(dǎo)得h′(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e-2).
所以當(dāng)x∈(0,e-2)時,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(e-2,+∞)時,h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減.…(9分)
所以當(dāng)x∈(0,+∞)時,h(x)≤h(e-2)=1+e-2
又當(dāng)x∈(0,+∞)時,0<$\frac{1}{ex}$<1,
所以當(dāng)x∈(0,+∞)時,g(x)=$\frac{1}{ex}$•h(x)<1+e-2,即g(x)<1+e-2.…(12分)

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,函數(shù)的最值以及構(gòu)造法的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.函數(shù)f(x)=$\frac{1}{x^2}$+1的圖象關(guān)于(  )
A.y軸對稱B.直線y=-x對稱C.坐標(biāo)原點(diǎn)對稱D.直線y=x對稱

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.定義在R上的f(x)為奇函數(shù),對任意兩個正數(shù)m,n,總有f(mn)=f(m)+f(n),且當(dāng)x>1時,f(x)>0.
(Ⅰ)求f(1),并判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=sin2x+mcosx-2m,集合M={m|對任意的x∈[0,$\frac{π}{2}$],g(x)<0},N={m|對任意的x∈[0,$\frac{π}{2}$],f[g(x)]<0},求M∩N.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A(-5,0),B(5,0),點(diǎn)M是橢圓上異于A,B的動點(diǎn),且直線AM與MB的斜率之積為$-\frac{16}{25}$;
(Ⅰ)求橢圓C的離心率;
(Ⅱ)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓C的右焦點(diǎn)重合,求拋物線上的點(diǎn)到直線l:3x+y+2=0的距離的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取的極大值為10,求a和b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.在△ABC中,A:B=1:2,sinC=1,則a:b:c=(  )
A.1:2:3B.3:2:1C.2:$\sqrt{3}$:1D.1:$\sqrt{3}$:2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O(0,0),A(4,0),B(3,$\sqrt{3}$)三點(diǎn),連接AB,過點(diǎn)B作BC∥x軸交該拋物線于點(diǎn)C.
(1)求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式.
(2)兩個動點(diǎn)P、Q分別從O、A同時出發(fā),以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動.其中,點(diǎn)P沿著線段OA向A點(diǎn)運(yùn)動,點(diǎn)Q沿著線段AB向B點(diǎn)運(yùn)動.設(shè)這兩個動點(diǎn)運(yùn)動的時間為t(秒)(0<t≤2),△PQA的面積記為S.
①求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)t為何值時,S有最大值,最大值是多少?并指出此時△PQA的形狀;
(3)是否存在這樣的t值,使得△PQA是直角三角形?若存在,請直接寫出此時P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.若函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且x>0時,f(x)=lg(x+1)
(1)求f(x)的解析式,并畫出大致圖象;
(2)若對于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(k-2t2)<0恒成立,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.函數(shù)f(x)=log${\;}_{\frac{1}{3}}$(x2-9)的定義域?yàn)椋?∞,-3)∪(3,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為
(-∞,-3).

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同步練習(xí)冊答案