分析 (1)求出函數(shù)的f′(x),通過在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行.得到f′(1)=0,求出k,通過f′(x)=$\frac{1}{xex}$(1-x-xln x),x∈(0,+∞),構(gòu)造h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),推出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)求出g(x)=$\frac{1}{ex}$(1-x-xln x),x∈(0,+∞),利用h(x)=1-x-xln x,求導(dǎo)得h′(x),求出函數(shù)的最值,得到g(x)=$\frac{1}{ex}$•h(x)<1+e-2,即可證明g(x)<1+e-2.
解答 解:(1)由f(x)=$\frac{lnx+k}{ex}$,x∈(0,+∞),得f′(x)=$\frac{1-kx-xlnx}{xex}$,x∈(0,+∞).
由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行.所以f′(1)=0,因此k=1.…(2分)
得f′(x)=$\frac{1}{xex}$(1-x-xln x),x∈(0,+∞),
令h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),
當(dāng)x∈(0,1)時,h(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,h(x)<0.
又ex>0,所以x∈(0,1)時,f′(x)>0;x∈(1,+∞)時,f′(x)<0.
因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).…(6分)
(2)因?yàn)間(x)=xf′(x),所以g(x)=$\frac{1}{ex}$(1-x-xln x),x∈(0,+∞),
由(1)得,h(x)=1-x-xln x,求導(dǎo)得h′(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e-2).
所以當(dāng)x∈(0,e-2)時,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(e-2,+∞)時,h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減.…(9分)
所以當(dāng)x∈(0,+∞)時,h(x)≤h(e-2)=1+e-2.
又當(dāng)x∈(0,+∞)時,0<$\frac{1}{ex}$<1,
所以當(dāng)x∈(0,+∞)時,g(x)=$\frac{1}{ex}$•h(x)<1+e-2,即g(x)<1+e-2.…(12分)
點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,函數(shù)的最值以及構(gòu)造法的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y軸對稱 | B. | 直線y=-x對稱 | C. | 坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 | D. | 直線y=x對稱 |
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A. | 1:2:3 | B. | 3:2:1 | C. | 2:$\sqrt{3}$:1 | D. | 1:$\sqrt{3}$:2 |
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