Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin2x-2cos²x．x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角差的正弦公式得到f（x）=$sin2x-cos2x-1=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1$，從而求出f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)x的范圍，求出2x-$\frac{π}{4}$的范圍，從而求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）由已知f（x）=sin2x-2cos²x=$sin2x-cos2x-1=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1$，
∴f（x）的最小正周期為π；
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，
∴當$2x-\frac{π}{4}=-\frac{π}{4}$，
即x=0時，f_min（x）=-2，
當$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{3π}{8}$時，${f_{max}}（x）=\sqrt{2}-1$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換問題，考查函數(shù)的周期及最值，熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．