Question

5．若直線y=x+b與曲線x²-4x+y²-6y+9=0（y≤3）有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，1+2$\sqrt{2}$]
• B． [1-2$\sqrt{2}$，1+2$\sqrt{2}$]
• C． [1-2$\sqrt{2}$，3]
• D． [1-$\sqrt{2}$，3]

Answer 1

分析 曲線表示以（2，3）為圓心、半徑等于2的半圓，當(dāng)半圓和直線y=x+b相切時(shí)，求得b的值；當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)（0，3）時(shí)，求得b的值，數(shù)形結(jié)合求得b的范圍．

解答 解：曲線x²-4x+y²-6y+9=0，即（x-2）²+（y-3）² =4 （y≤3），
表示以（2，3）為圓心、半徑等于2的半圓，
如圖所示：當(dāng)半圓和直線y=x+b相切時(shí)，由$\frac{|2-3+b|}{\sqrt{2}}$=2，
求得b=1-2$\sqrt{2}$，或b=1+2$\sqrt{2}$（舍去）．
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)（0，3）時(shí)，求得b=3．
綜上可得，b的取值范圍是[1-2$\sqrt{2}$，3]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．