Question

17．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a沒(méi)有交點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)h（x）=4^{f（x）+${\;}^{\frac{1}{2}}$x}+m•2^x-1，x∈[0，log₂3]，是否存在實(shí)數(shù)m使得h（x）最小值為0，若存在，求出m的值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），可得k的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a沒(méi)有交點(diǎn)，方程log₄（4^x+1）-x=a無(wú)解，則函數(shù)g（x）=${log}_{4}（1+\frac{1}{{4}^{x}}）$的圖象與直線y=a無(wú)交點(diǎn)，則a不屬于函數(shù)g（x）值域；
（3）函數(shù)h（x）=4^x+m•2^x，x∈[0，log₂3]，令t=2^x∈[1，3]，則y=t²+mt，t∈[1，3]，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論，可得m的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即 log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx恒成立．
∴2kx=log₄（4^-x+1）-log₄（4^x+1）=${log}_{4}\frac{{4}^{-x}+1}{{4}^{x}+1}$=${log}_{4}{4}^{-x}$=-x，
∴k=-$\frac{1}{2}$   …（3分）
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a沒(méi)有交點(diǎn)，
則方程log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+a即方程log₄（4^x+1）-x=a無(wú)解．
令g（x）=log₄（4^x+1）-x=${log}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{x}}$=${log}_{4}（1+\frac{1}{{4}^{x}}）$，則函數(shù)g（x）的圖象與直線y=a無(wú)交點(diǎn)．…（4分）
∵g（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)．$1+\frac{1}{{4}^{x}}＞1$，
∴g（x）＞0．
∴a≤0 …（7分）
（3）由題意函數(shù)h（x）=4^{f（x）+${\;}^{\frac{1}{2}}$x}+m•2^x-1=4^x+m•2^x，x∈[0，log₂3]，
令t=2^x∈[1，3]，則y=t²+mt，t∈[1，3]，…（8分）
∵函數(shù)y=t²+mt的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線t=-$\frac{m}{2}$，
故當(dāng)-$\frac{m}{2}$≤1，即m≥-2時(shí)，當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取最小值m+1=0，解得：m=-1，
當(dāng)1＜-$\frac{m}{2}$＜3，即-6＜m＜-2時(shí)，當(dāng)t=-$\frac{m}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值$-\frac{{m}^{2}}{4}$=0，解得：m=0（舍去），
當(dāng)-$\frac{m}{2}$≥3，即m≤-6時(shí)，當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），
綜上所述，存在m=-1滿足條件．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的值域，函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．