Question

15．設(shè)a₁，a₂，…a₂₀₁₄都是正數(shù)且a₁+a₂+…+a₂₀₁₄=1．則$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2+{a}_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{2+{a}_{2}}$+…$\frac{{{a}_{2013}}^{2}}{2+{a}_{2013}}$+$\frac{{{a}_{2014}}^{2}}{2+{a}_{2014}}$的最小值為$\frac{1}{4029}$．

Answer 1

分析 利用柯西不等式的變形：設(shè)a₁，a₂，…a_n為實(shí)數(shù)，b₁，b₂，…b_n為正數(shù)，則$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{_{n}}$≥$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）^{2}}{_{1}+_{2}+…+_{n}}$當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$=…=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$時(shí)取等號(hào)，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2+{a}_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{2+{a}_{2}}$+…$\frac{{{a}_{2013}}^{2}}{2+{a}_{2013}}$+$\frac{{{a}_{2014}}^{2}}{2+{a}_{2014}}$≥$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2014}）^{2}}{2×2014+（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2014}）}$=$\frac{1}{4028+1}$=$\frac{1}{4029}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{a}_{1}}{2+{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{2+{a}_{2}}$=…=$\frac{{a}_{2014}}{2+{a}_{2014}}$取等號(hào)，
故答案為：$\frac{1}{4029}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查柯西不等式的變形，注意解題方法的積累，屬于中檔題．