Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+m，x≥m}\\{-x+3m，x＜m}\end{array}\right.$．
（1）當m=0時，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）若f（x）≥2對一切x∈R恒成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對分段函數(shù)分類討論，得出f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{x\\;x≥0\\;}\\{-x\\;x＜0}\end{array}\right.$=f（x），判斷為偶函數(shù)；
（2）對分段函數(shù)分類求恒成立，把恒成立問題轉換為最值問題進行求解即可．

解答 （1）證明：當m=0時，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x\\;x≥0}\\{-x\\;x＜0}\end{array}\right.$，
設?x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=-（-x）=x，
設?x＜0，則-x＞0，
f（-x）=-x，f（0）=0，
∴f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{x\\;x≥0\\;}\\{-x\\;x＜0}\end{array}\right.$=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）解：當x≥m時，
x+m≥2恒成立，
∴2m≥2，
∴m≥1；
當x＜m時，
-x+3m≥2恒成立，
∴2m≥2，
∴m≥1；
故m的范圍為m≥1．

點評 考查了分段函數(shù)的奇偶性的判斷和恒成立問題，難點是對分段函數(shù)的分類討論．