Question

6．若數(shù)列{a_n}中存在三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱{a_n}為“等比源數(shù)列”
（1）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-1．
①求{a_n}的通項公式；
②試判斷{a_n}是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結(jié)論．
（2）已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₁≠0，a_n∈Z（n∈N^*），求證：{a_n}為“等比源數(shù)列”

Answer 1

分析 （1）①由a_n+1=2a_n-1，可得a_n+1-1=2（a_n-1），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
②假設(shè){a_n}為“等比源數(shù)列”，則此數(shù)列中存在三項：a_k＜a_m＜a_n，k＜m＜n．滿足${a}_{m}^{2}$=a_ka_n，代入化為：2^m-k+1（2^m-2+1）=2^n-1+2^n-k+1，利用數(shù)的奇偶性即可得出．
（2）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，假設(shè)存在三項使得${a}_{n}^{2}={a}_{k}{a}_{m}$，（k＜n＜m）．展開：2a₁（n-1）+（n-1）²d=a₁[（k-1）+（m-1）]+（k-1）（m-1）d，當(dāng)n-1既是（k-1）與m-1的等比中項，又是（k-1）與m-1的等差中項時，原命題成立．

解答 解：（1）①∵a_n+1=2a_n-1，∴a_n+1-1=2（a_n-1），
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，首項為1，公比為2．
∴a_n-1=2^n-1，
∴a_n=2^n-1+1．
②假設(shè){a_n}為“等比源數(shù)列”，
則此數(shù)列中存在三項：a_k＜a_m＜a_n，k＜m＜n．
滿足${a}_{m}^{2}$=a_ka_n，
∴（2^m-1+1）²=（2^k-1+1）（2^n-1+1），
化為：2^2m-2+2^m=2^k+n-2+2^n-1+2^k-1，
∴2^m-k+1（2^m-2+1）=2^n-1+2^n-k+1，
可知：左邊為偶數(shù)，而右邊為奇數(shù)，因此不可能成立．
故{a_n}不是“等比源數(shù)列”．
（2）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則a_n=a₁+（n-1）d，a₁≠0，a_n∈Z（n∈N^*），
假設(shè)存在三項使得${a}_{n}^{2}={a}_{k}{a}_{m}$，（k＜n＜m）．
∴$[{a}_{1}+（n-1）d]^{2}$=[a₁+（k-1）d][a₁+（m-1）d]，
展開：2a₁（n-1）+（n-1）²d=a₁（k-1）+（m-1）+（k-1）（m-1）d，
當(dāng)n-1既是（k-1）與m-1的等比中項，又是（k-1）與m-1的等差中項時，原命題成立．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、新定義“等比源數(shù)列”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．