Question

1．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=3，a_n+1²=3a_n+4（n∈N^•）
（Ⅰ）求證：對(duì)任意n∈N^•，（a_n-4）•（a_n+1-4）＞0；
（Ⅱ）求證：（i）3≤a_n＜4（n∈N^•）；
            （ii）S_n＞4n-$\frac{7}{4}$（n∈N^•）．

Answer 1

分析 （I）由a₁=3，a_n+1²=3a_n+4（n∈N^•），a_n＞0．可得a_n=$\frac{{a}_{n+1}^{2}-4}{3}$，代入（a_n-4）•（a_n+1-4），化簡(jiǎn)整理即可證明．
（II）（i）由于a₁=3，a_n+1²=3a_n+4（n∈N^•），a_n＞0，可得${a}_{2}^{2}$=3×3+4＞9，a₂＞3，同理可得a₃＞3，…，a_n＞3．由（I）可得：對(duì)任意n∈N^•，（a_n-4）•（a_n+1-4）＞0，a_n＞0，a₁=3，可得3＜a₂＜4，依此類推可得3＜a_n＜4．
（ii）由a_n+1²=3a_n+4（n∈N^•），4＞a_n+1＞3，可得：4a_n+1＞${a}_{n+1}^{2}$＞3a_n+4，化為4-a_n+1＜$\frac{3}{4}（4-{a}_{n}）$，依此類推可得：a_n＞$4-（\frac{3}{4}）^{n-1}$（n≥2），相加再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 證明：（I）∵a₁=3，a_n+1²=3a_n+4（n∈N^•），a_n＞0．
∴a_n=$\frac{{a}_{n+1}^{2}-4}{3}$，
∴（a_n-4）•（a_n+1-4）=$（\frac{{a}_{n+1}^{2}-4}{3}-4）$•（a_n+1-4）=
$\frac{1}{3}（{a}_{n+1}+4）（{a}_{n+1}-4）^{2}$＞0；
∴（a_n-4）•（a_n+1-4）＞0．
（II）（i）∵a₁=3，a_n+1²=3a_n+4（n∈N^•），a_n＞0，
∴${a}_{2}^{2}$=3×3+4＞9，∴a₂＞3，同理可得a₃＞3，
…，a_n＞3．
由（I）可得：對(duì)任意n∈N^•，（a_n-4）•（a_n+1-4）＞0，a_n＞0，a₁=3，
∴3＜a₂＜4，依此類推可得3＜a_n＜4，
∴3≤a_n＜4（n∈N^•）．
（ii）由a_n+1²=3a_n+4（n∈N^•），4＞a_n+1＞3，
可得：4a_n+1＞${a}_{n+1}^{2}$＞3a_n+4，
化為4-a_n+1＜$\frac{3}{4}（4-{a}_{n}）$，
依此類推可得：4-a_n+1＜$\frac{3}{4}（4-{a}_{n}）$＜$（\frac{3}{4}）^{2}（4-{a}_{n-1}）$＜…＜$（\frac{3}{4}）^{n}（4-{a}_{1}）$，
∴a_n＞$4-（\frac{3}{4}）^{n-1}$（n≥2），
∴S_n＞3+4（n-1）-$\frac{\frac{3}{4}[1-（\frac{3}{4}）^{n-1}]}{1-\frac{3}{4}}$=4n-$\frac{7}{4}$（n≥2）．

∴S_n＞4n-$\frac{7}{4}$（n∈N^•，n≥2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．