Question

15．已知a＞0且a≠1，用比較法證明：aⁿ$+\frac{1}{{a}^{n}}$＞a+$\frac{1}{a}$（n＞2，n∈N）．

Answer 1

分析 通過(guò)作差、變形可知（aⁿ$+\frac{1}{{a}^{n}}$）-（a+$\frac{1}{a}$）=（aⁿ-a）•$\frac{{a}^{n+1}-1}{{a}^{n+1}}$，分0＜a＜1、a＞1兩種情況討論，定號(hào)即得結(jié)論．

解答 證明：（aⁿ$+\frac{1}{{a}^{n}}$）-（a+$\frac{1}{a}$）=（aⁿ-a）+（$\frac{1}{{a}^{n}}$-$\frac{1}{a}$）
=（aⁿ-a）+$\frac{a-{a}^{n}}{{a}^{n+1}}$
=（aⁿ-a）（1-$\frac{1}{{a}^{n+1}}$）
=（aⁿ-a）•$\frac{{a}^{n+1}-1}{{a}^{n+1}}$，
∵a＞0且a≠1，
∴0＜a＜1或a＞1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，aⁿ-a＜0、aⁿ⁺¹-1＜0，
∴aⁿ$+\frac{1}{{a}^{n}}$＞a+$\frac{1}{a}$（n＞2，n∈N）；
當(dāng)a＞1時(shí)，aⁿ-a＞0、aⁿ⁺¹-1＞0，
∴aⁿ$+\frac{1}{{a}^{n}}$＞a+$\frac{1}{a}$（n＞2，n∈N）；
綜上所述，aⁿ$+\frac{1}{{a}^{n}}$＞a+$\frac{1}{a}$（n＞2，n∈N）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用比較法證明不等式，作差、變形、定號(hào)是一般步驟，注意解題方法的積累，屬于中檔題．