Question

11．已知|log_π$\frac{α}{π}$|＜2（α為常數(shù)），求使函數(shù)f（x）=sin（x+α）+cos（x-α）為偶函數(shù)的α的個數(shù)，并求所有這些α的和．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式求出α的取值范圍，結(jié)合函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，進行求解即可．

解答 解：由|log_π$\frac{α}{π}$|＜2得-2＜log_π$\frac{α}{π}$＜2，
即log_π$\frac{1}{{π}^{2}}$＜log_π$\frac{α}{π}$＜log_ππ²，
即$\frac{1}{{π}^{2}}$＜$\frac{α}{π}$＜π²，
即$\frac{1}{π}$＜α＜π³，
由f（x）=sin（x+α）+cos（x-α）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即sin（-x+α）+cos（-x-α）=sin（x+α）+cos（x-α），
即-sinxcosα+cosxsinα+cosxcosα-sinxsinα=sinxcosα+cosxsinα+cosxcosα+sinxsinα，
-sinxcosα-sinxsinα=sinxcosα+sinxsinα，
即-sinx（sinα+cosα）=sinx（sinα+cosα），
則必有sinα+cosα=0，
即tanα=-1，即α=-$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z，
當k=1，則α=$\frac{3π}{4}$，
當k=2，則α=$\frac{7π}{4}$，
當k=3，則α=$\frac{11π}{4}$，
當k=4，則α=$\frac{15π}{4}$，
當k=5，則α=$\frac{19π}{4}$，
當k=6，則α=$\frac{23π}{4}$，
當k=7，則α=$\frac{27π}{4}$，
當k=8，則α=$\frac{31π}{4}$，
當k=9，則α=$\frac{35π}{4}$，
當k=10，則α=$\frac{39π}{4}$＞π³，
此時不成立，故滿足條件的α的個數(shù)有9個，
故所有這些α的和為$\frac{3π}{4}$+$\frac{7π}{4}$+$\frac{11π}{4}$+$\frac{15π}{4}$+$\frac{19π}{4}$+$\frac{23π}{4}$+$\frac{27π}{4}$+$\frac{31π}{4}$+$\frac{35π}{4}$+$\frac{39π}{4}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{（3π+39π）×10}{2}$=$\frac{105π}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及三角函數(shù)的化簡，考查學生的運算能力．