Question

10． 某社區(qū)為調(diào)查當(dāng)前居民的睡眠狀況，從該社區(qū)的[10，70]歲的人群中隨機(jī)抽取n人進(jìn)行一次日平均睡眠時間調(diào)查，這n人中各年齡組人數(shù)的頻率分布直方圖如圖1所示，統(tǒng)計各年齡組的“亞健康族”（日平均睡眠時間符合健康標(biāo)準(zhǔn)的稱為“健康族”否則稱為“亞健康族”）人數(shù)及相應(yīng)頻率，得到統(tǒng)計表如圖所示

組數(shù)	分組	亞健康族的人數(shù)	占本組的頻率
第一組	[10，20）	100	0.5
第二組	[20，30）	195	P
第三組	[30，40）	120	0.6
第四組	[40，50）	a	0.4
第五組	[50，60）	30	0.3
第六組	[60，70]	15	0.3

（1）求n、p的值；
（2）用分層抽樣的方法從年齡在[30，50）歲的“亞健康族”中抽取6人參加健康睡眠體驗(yàn)活動，現(xiàn)從6人中隨機(jī)選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊，記年齡在[40，50）歲的領(lǐng)隊有X人，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，結(jié)合頻率分布直方圖和頻率分布表能求出n和p．
（2）先求出第四組中人數(shù)，從而能求出第四組中亞健康人數(shù)，進(jìn)而利用分層抽樣的方法得到抽到的6人中，年齡在[30，40）歲的人數(shù)為4，年齡在[30，40）歲的人數(shù)為2，由此得到X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，能求出X的分布列和X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）∵第三組中亞健康人數(shù)120人，占本組頻率為0.6，
又第三組在總體中的頻率為0.02×10，
∴n=$\frac{120}{0.6}$×$\frac{1}{0.02×10}$=1000．
∵第二組亞健康人數(shù)為195人，
又第二組在總體中的頻率為1-（0.020+0.020+0.015+0.010+0.005）×10=0.3，
∴第二組人數(shù)為10000×0.3=300，
p=$\frac{195}{300}$=0.65．
（2）第四組中人數(shù)為：1000×0.015×10=150，
∴第四組中亞健康人數(shù)a=150×0.4=60，
用分層抽樣的方法從年齡在[30，50）歲的“亞健康族”中抽取6人參加健康睡眠體驗(yàn)活動，
則抽到的6人中，年齡在[30，40）歲的人數(shù)為：120×$\frac{6}{180}$=4，年齡在[30，40）歲的人數(shù)為：600×$\frac{6}{180}$=2，
現(xiàn)從6人中隨機(jī)選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊，記年齡在[40，50）歲的領(lǐng)隊有X人，由X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{6}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

X的數(shù)學(xué)期望EX=$0×\frac{6}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖和頻率分布表的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分層抽樣的性質(zhì)的合理運(yùn)用．