Question

18．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx-2|，}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x+3，}&{x≤0}\end{array}\right.$，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象交于四個(gè)不同的點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)從小到大依次記為a，b，c，d，下列說法正確的是②③．（請寫出所有正確答案的序號）
①m∈（3，4）；
②abcd∈[0，e⁴）；
③a+b+c+d∈[e⁵+$\frac{1}{e}$-2，e⁶+$\frac{1}{{e}^{2}}$-2）；
④若關(guān)于x的方程f（x）+x=t恰有三個(gè)不同實(shí)根，則t=3．

Answer 1

分析 ①畫出y=f（x）與y=m的圖象即可；
②，結(jié)合圖象把a(bǔ)bcd的不等式用m表示出來；
③同樣用m把a(bǔ)+b+c+d表示出來；
④若關(guān)于x的方程f（x）+x=t恰有三個(gè)不同實(shí)根，則y=f（x）與y=-x+t有三個(gè)不同的交點(diǎn)，畫圖即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x+3，x≤0}\\{|2-lnx|，x＞0}\end{array}\right.$，即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+1）^{2}+4，x≤0}\\{|2-lnx|，x＞0}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）的圖象如下：
若直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象相交于四個(gè)不同的點(diǎn)，由圖可知m∈[3，4），故①錯(cuò)誤；
四個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)從小到大，依次記為a，b，c，d，則a，b關(guān)于x=-1對稱，
∴a+b=-2，ab=m-3，∴ab∈[0，1），且lnc=2-m，lnd=2+m，
∴l(xiāng)n（cd）=4，
∴cd=e⁴，
∴abcd∈[0，e⁴），∴②是正確的；
由2-lnx=4得x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，由2-lnx=3得x=$\frac{1}{e}$，
∴c∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]，又∵cd=e⁴，
∴a+b+c+d=c+$\frac{{e}^{4}}{c}$-2在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]是遞減函數(shù)，∴a+b+c+d∈[e⁵+$\frac{1}{e}$-2，e⁶+$\frac{1}{{e}^{2}}$-2）； 
∴③是正確的；
④若關(guān)于x的方程f（x）+x=t恰有三個(gè)不同實(shí)根，則y=f（x）與y=-x+t有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
而直線y=-x+3 與y=-x+$\frac{13}{4}$均與y=f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，∴t不唯一．∴故④錯(cuò)誤，
故正確的是②③，
故答案為：②③

點(diǎn)評 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，利用數(shù)形結(jié)合以及分段函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．