Question

3．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$），離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)左焦點(diǎn)F任作一直線l，交橢圓E于P、Q兩點(diǎn)．
  （i）求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的取值范圍；
  （ii）若直線l不垂直于坐標(biāo)軸，記弦PQ的中點(diǎn)為M，過(guò)F作PQ的垂線FN交直線OM于點(diǎn)N，證明：點(diǎn)N在一條定直線上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）（i）求得F（-2，0），討論直線的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍；
（ii）可設(shè)PQ：y=k（x+2），F(xiàn)N：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），設(shè)M（x₀，y₀），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線OM方程，求得直線FN和OM的交點(diǎn)N，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得b=$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
又a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{6}$，c=2，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）（i）F（-2，0），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線方程為x=-2，可得P（-2，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），Q（-2，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=4-$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$；
當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)l：y=k（x+2），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入橢圓方程x²+3y²=6，可得（1+3k²）x²+12k²x+12k²-6=0，
x₁+x₂=-$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁+2）（x₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k²（x₁+x₂）+4k²=（1+k²）•$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$+2k²•（-$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$）+4k²
=$\frac{10{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{10}{3}$-$\frac{\frac{28}{3}}{3{k}^{2}+1}$，由k²≥0，3k²+1≥1，可得
-6≤$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$＜$\frac{10}{3}$，
綜上可得，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的取值范圍是[-6，$\frac{10}{3}$]；
（ii）證明：由直線l的斜率一定存在，且不為0，
可設(shè)PQ：y=k（x+2），F(xiàn)N：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），設(shè)M（x₀，y₀），
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，由x₁+x₂=-$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，可得x₀=$\frac{-6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
y₀=k（x₀+2）=$\frac{2k}{3{k}^{2}+1}$，
直線OM的斜率為k_OM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{3k}$，
直線OM：y=-$\frac{1}{3k}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3k}x}\\{y=-\frac{1}{k}（x+2）}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=\frac{1}{k}}\end{array}\right.$，
即有k取何值，N的橫坐標(biāo)均為-3，
則點(diǎn)N在一條定直線x=-3上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查點(diǎn)在定直線上的求法，注意運(yùn)用直線方程求交點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．