Question

18．用適合的方法證明下列命題：
（1）$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}＜\sqrt{a-1}-\sqrt{a-2}$（a≥2）
（2）若a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且a+b=1，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$＞4．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用分子有理化，可得$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$=$\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{1}$=$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$，$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-2}$=$\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a-2}}$，由不等式的性質(zhì)，即可得證；
（2）由乘1法，可得$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$），展開(kāi)后，由基本不等式即可得證．

解答 證明：（1）$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$=$\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{1}$
=$\frac{a+1-a}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$=$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$，
同理可得，$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-2}$=$\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a-2}}$，
由$\sqrt{a+1}$＞$\sqrt{a-1}$，$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a-2}$，
即$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a-1}$+$\sqrt{a-2}$，
即有$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$＜$\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a-2}}$，
即為$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$＜$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-2}$；
（2）由a+b=1，（a，b＞0且a≠b），
$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$＞2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=4，
則$\frac{1}{a}+\frac{1}$＞4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)和基本不等式，考查推理能力，屬于中檔題．