Question

10．已知實(shí)數(shù)a＞0，設(shè)p：函數(shù)y=a^x在（-∞，+∞）上遞減；q：$?x∈R，a＞sinx-\frac{1}{2}$．如果“p∨q”為真，“p∨q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：0＜a＜1．又命題q：利用三角函數(shù)的值域可得a＞1-$\frac{1}{2}$．又“p∨q”為真，“p∨q”為假，于是命題p，q中一真一假．

解答 解：對于命題p：函數(shù)y=a^x在（-∞，+∞）上遞減，∴0＜a＜1．
又命題q：$?x∈R，a＞sinx-\frac{1}{2}$．∴a＞1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，即a$＞\frac{1}{2}$．
又“p∨q”為真，“p∨q”為假，
則命題p，q中一真一假．
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ 0＜a≤\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得$0＜a≤\frac{1}{2}$；
若q真p假，則$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：a≥1．
綜上，a的取值范圍是$（0，\frac{1}{2}]$∪[，1+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．