Question

6．已知函數(shù)f（x）是定義域為R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，若實數(shù)a滿足不等式f（log₂a）+f（${log_{\frac{1}{2}}}a$）≤2f（2），則實數(shù)a的取值范圍是$[{\frac{1}{4}，4}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進行轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：∵f（x）是定義域為R上的偶函數(shù)，
∴不等式$f（{{{log}_2}a}）+f（{{{log}_{\frac{1}{2}}}a}）≤2f（2）$，等價為2f（log₂a）≤2f（2），
即f（log₂a）≤f（2），
則f（|log₂a|）≤f（2），
∵在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴|log₂a|≤2，
即-2≤log₂a≤2，
解得$\frac{1}{4}$≤a≤4，
故答案為：$[{\frac{1}{4}，4}]$

點評 本題主要考查不等式的求解，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系以及對數(shù)的運算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．