Question

8．若關(guān)于x的方程4^x+（a-3）•2^x+a=0在x∈（-∞，1）上有兩個不等實根，則實數(shù)a 的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1）∪（9，+∞）
• B． （$\frac{2}{3}$，1）
• C． （$\frac{2}{3}$，3）
• D． （-1，3）

Answer 1

分析 利用換元法結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：4^x+（a-3）•2^x+a=0等價為（2^x）²+（a-3）•2^x+a=0，
設(shè)t=2^x，∵x∈（-∞，1），
∴t∈（0，2），
即方程等價為t²+（a-3）•t+a=0在t∈（0，2）上有兩個不等實根，
設(shè)f（t）=t²+（a-3）•t+a，
則等價為$\left\{\begin{array}{l}{△=（a-3）^{2}-4a＞0}\\{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\\{0＜-\frac{a-3}{2}＜2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-10a+9＞0}\\{a＞0}\\{3a-2＞0}\\{-1＜a＜3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞9或a＜1}\\{a＞0}\\{a＞\frac{2}{3}}\\{-1＜a＜3}\end{array}\right.$，解得$\frac{2}{3}$＜a＜1，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)零點和方程的關(guān)系，利用換元法結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．