Question

13．過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上一點(diǎn)P（x₀，y₀）向圓O：x²+y²=4引兩條切線PA，PB（A，B為切點(diǎn)），若PA⊥PB．則P點(diǎn)坐標(biāo)是$（±2\sqrt{2}，0）$．

Answer 1

分析 如圖所示，連接OA，OB，則OA⊥PA，OB⊥PB．可得四邊形OAPB是正方形，于是|OP|=2$\sqrt{2}$，再與橢圓方程聯(lián)立即可得出．

解答 解：如圖所示，
連接OA，OB，則OA⊥PA，OB⊥PB．
又PA⊥PB，OA=OB．
∴四邊形OAPB是正方形，
∴|OP|=2$\sqrt{2}$，
設(shè)P（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得P$（±2\sqrt{2}，0）$．
故答案為：$（±2\sqrt{2}，0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．