Question

8．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，AB=AC=1，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（2）求證：AB₁∥平面A₁DC；
（3）求三棱錐C₁-A₁CD的體積．

Answer 1

分析 （1）先證明AA₁⊥平面ABC，可得CC₁⊥AD，再利用線面垂直的判定定理，即可證明AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明A₁B∥OD，利用線面平行的判定定理證明A₁B∥平面AC₁D；
（3）利用等體積轉(zhuǎn)化法求解三棱錐C₁-A₁CD的體積即可．

解答 （1）證明：AC∩AB=A，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，
AC∩AB=A，
AC，AB?平面ABC，∴AA₁⊥平面ABC．
∵AA₁∥CC₁，∴CC₁⊥平面ABC，∴平面平面BB₁C₁C⊥平面ABC，…（2分）
∴平面平面BB₁C₁C⊥平面A₁B₁C₁，D是B₁C₁中點(diǎn)，AB=AC=1，
∴A₁D⊥B₁C₁
∴A₁D⊥平面BB₁C₁C；…（5分）
（2）證明：連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連結(jié)OD，
因?yàn)锳CC₁A₁為正方形，所以O(shè)為AC₁中點(diǎn)，
又D為BC中點(diǎn)，所以O(shè)D為△A₁BC中位線，
所以A₁B∥OD，…（6分）
因?yàn)镺D?平面AC₁D，AB₁?平面AC₁D，
所以A₁B∥平面AC₁D…（8分）
（3）由（1）可知A₁A三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高   …（9分）
側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，AB=AC=1，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B₁C₁的中點(diǎn)，${V_{{C_1}-{A_1}CD}}={V_{C-{A_1}{C_1}D}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{C_1}D}}•C{C_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×1=\frac{1}{12}$…（10分），
即三棱錐C₁-A₁CD的體積為：$\frac{1}{12}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面平行與垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．