Question

17．已知圓C：x²+y²+2x-4y+a=0，點(diǎn)M（0，1）為圓內(nèi)的一點(diǎn)．直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M恰好為弦AB的中點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及直線l的方程；
（2）若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，求圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)直線垂直的條件：斜率之積為-1，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求出a的取值范圍；
（2）求出A，B的坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，求出a，即可求圓C的方程．

解答 解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y-2）²=5-a，
則圓心C（-1，2），半徑r=$\sqrt{5-a}$，
∵弦AB的中點(diǎn)為M（0，1）．
∴點(diǎn)M在圓內(nèi)部，即（0+1）²+（1-2）²＜5-a，
∴5-a＞2，即a＜3．
∵弦的中點(diǎn)為M（0，1）．
∴直線CM的斜率k=$\frac{2-1}{-1-0}$=-1，
則直線l的斜率k=1，
則直線l的方程為y-1=x，即x-y+1=0；
（2）由圓C：x²+y²+2x-4y+a=0，與x-y+1=0聯(lián)立得2x²+a-3=0，故x=±$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$．
不妨設(shè)$A（\sqrt{\frac{3-a}{2}}，\sqrt{\frac{3-a}{2}}+1）$，$B（-\sqrt{\frac{3-a}{2}}，-\sqrt{\frac{3-a}{2}}+1）$…（7分）
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{3-a}{2}+1-\frac{3-a}{2}=a-2=0$，故a=2…（9分）
故圓C：x²+y²+2x-4y+2=0…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的方程的應(yīng)用，同時(shí)考查向量知識(shí)的運(yùn)用，利用配方法將圓配成標(biāo)準(zhǔn)方程是解決本題的關(guān)鍵．