Question

20．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}-x，x≤0\\-{x^2}+2x，x＞0\end{array}\right.$，且關(guān)于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3個不同的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，則x₁x₂x₃的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，0）
• B． $（-\frac{1}{2}，+∞）$
• C． （0，1）
• D． $（-\frac{1}{2}，0）$

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，則-$\frac{1}{2}$＜x₁＜0＜x₂＜1＜x₃＜2，由x₂+x₃=2，可得0＜x₂x₃＜1，由不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：畫出函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}-x，x≤0\\-{x^2}+2x，x＞0\end{array}\right.$的圖象，
依題意得關(guān)于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有三個互不相同的
實數(shù)根x₁，x₂，x₃，不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，則
-$\frac{1}{2}$＜x₁＜0＜x₂＜1＜x₃＜2，
又x₂，x₃關(guān)于x=1對稱，則x₂+x₃=2，x₂x₃=-（x₂-1）²+1，
∴0＜x₂x₃＜1，
∴-$\frac{1}{2}$＜x₁x₂x₃＜0．
故選D．

點評 本題考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，考查二次函數(shù)的對稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，運用不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．