6.已知函數(shù)f(x)=sinx•cos(x-$\frac{π}{6}$)+cos2x-$\frac{1}{2}$.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值,并寫出f(x)取最大值x時的取值集合;
(2)求函數(shù)f(x)在[一$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]上的減區(qū)間.

分析 (1)利用差角公式和將次公式展開,再用兩角和的正弦公式化成f(x)=Asin(ωx+φ)形式,求出最大值即對應(yīng)的x;
(2)求出f(x)的減區(qū)間,再求減區(qū)間與[一$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]的交集即可.

解答 解:(1)f(x)=sinx•cos(x-$\frac{π}{6}$)+cos2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$sin2x+cos2x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin(2x+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{4}$.
∴f(x)的最大值是$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$,
令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ,解得x=$\frac{π}{6}$+kπ.
∴當(dāng)f(x)取得最大值時x的取值集合是{x|x=$\frac{π}{6}$+kπ,k∈Z}.
(2)令$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$,
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ,即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{6}$+kπ,$\frac{2π}{3}$+kπ],k∈Z.
當(dāng)k=0時,[$\frac{π}{6}$+kπ,$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[一$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]=[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$],
當(dāng)k=-1時,[$\frac{π}{6}$+kπ,$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[一$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]=∅,
當(dāng)k=1時,[$\frac{π}{6}$+kπ,$\frac{2π}{3}$+kπ]∩[一$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]=∅,
∴f(x)在[一$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]上的減區(qū)間是[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$].

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換及性質(zhì),對函數(shù)進行化簡是解題關(guān)鍵.

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