Question

12．在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，G是三角形ACD′的重心，求證：3DG=DB′．

Answer 1

分析 設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)AB為a，寬DA為b，高DD′為c，以D′為原點(diǎn)，A′D'為x軸，D′C′為y軸，DD′為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)D′坐標(biāo)為（0，0，0），點(diǎn)A為（b，0，c），點(diǎn)C為（0，a，c），D（0，0，c），證明3$\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{DB′}$，即可證明結(jié)論．

解答 證明：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)AB為a，寬DA為b，高DD′為c
以D′為原點(diǎn)，A′D'為x軸，D′C′為y軸，DD′為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)D′坐標(biāo)為（0，0，0），點(diǎn)A為（b，0，c），點(diǎn)C為（0，a，c），D（0，0，c）
因?yàn)镚是三角形ACD'的重心，所以G的坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$b，$\frac{1}{3}$a，$\frac{2}{3}$c），
所以，3$\overrightarrow{DG}$=（b，a，-c）
因?yàn)锽'點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，a，0），所以$\overrightarrow{DB′}$=（b，a，-c）
所以3$\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{DB′}$，
所以3DG=DB'

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確建立坐標(biāo)系是關(guān)鍵．