Question

1．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5．（1）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知K（m，0）（m∈R，m≠0）是x軸上一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)K且傾斜角為$\frac{π}{4}$的一條直線l與拋物線相交于不同的P，Q兩點(diǎn)，求$\frac{\overline{OP}•\overline{OQ}+4}{m}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的準(zhǔn)線方程，由題意可得4+$\frac{p}{2}$=5，解方程可得p，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=m+y，代入拋物線的方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再由基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）拋物錢y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），
準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由題意可得4+$\frac{p}{2}$=5，
解得p=2，
則拋物線的方程為y²=4x；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=m+y，
代入拋物線的方程，可得y²-4y-4m=0，
由△=16+16m＞0，可得m＞-1，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
即有y₁y₂=-4m，x₁x₂=$\frac{1}{16}$（y₁y₂）²=m²，
則$\frac{\overline{OP}•\overline{OQ}+4}{m}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}+4}{m}$
=$\frac{{m}^{2}-4m+4}{m}$=m+$\frac{4}{m}$-4，
若m＞0時，m+$\frac{4}{m}$-4≥2$\sqrt{m•\frac{4}{m}}$-4=0，
若-1＜m＜0，m+$\frac{4}{m}$-4遞減，即有m+$\frac{4}{m}$-4＜-9．
綜上可得，$\frac{\overline{OP}•\overline{OQ}+4}{m}$的取值范圍為（-∞，-9）∪[0，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程的求法，注意運(yùn)用拋物線的定義，考查直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．