Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點F與拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的焦點重合，短軸的下、上兩個端點分別為B₁，B₂，且$\overrightarrow{F{B}_{1}}$$•\overrightarrow{F{B}_{2}}$=a．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（km＜0）與橢圓C交于M，N兩點，AB是橢圓C經(jīng)過原點O的弦，AB∥l，且$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=4，問是否存在直線l，使得$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意求出拋物線的焦點坐標，可得橢圓的右焦點，再結(jié)合$\overrightarrow{F{B}_{1}}$$•\overrightarrow{F{B}_{2}}$=a及隱含條件列式求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線l的方程與橢圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系及其弦長|MN|，令m=0即可得出|AB|，再利用已知$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=4可得m與k的關(guān)系，利用數(shù)量積$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=2即可解出k值，則直線l的方程可求．

解答 解：（1）由y²=4$\sqrt{3}$x，得拋物線焦點為（$\sqrt{3}，0$），
即橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點F（$\sqrt{3}，0$），∴c=$\sqrt{3}$，
由$\overrightarrow{F{B}_{1}}$$•\overrightarrow{F{B}_{2}}$=a，得（$-\sqrt{3}，-b$）•（-$\sqrt{3}$，b）=a，即3-b²=a，
又a²=b²+c²，聯(lián)立可得：a=-3（舍），或a=2，
∴b²=1．
則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴△=64k²m²-16（4k²+1）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
則|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{16{m}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{4{k}^{2}-{m}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$，
令m=0，可得|AB|=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{4{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
∴$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=4•$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{4{k}^{2}-{m}^{2}+1}}$=4，化簡得m²=3k²，
∴$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=$（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+3{k}^{2}$
=$\frac{（{k}^{2}+1）（4{m}^{2}-4）}{1+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}+3{k}^{2}$=$\frac{11{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=2，
解得k=±$\sqrt{2}$，
故直線l的方程為y=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{6}$或y=-$\sqrt{2}$x+$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了橢圓、拋物線的標準方程及其性質(zhì)，考查直線與橢圓相交關(guān)系問題，考查根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、數(shù)量積運算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．