Question

2．已知a_n=3ⁿ，b_n=3n，n∈N^*，對于每一個k∈N^*，在a_k與a_k+1之間插入b_k個3得到一個數(shù)列{c_n}．設T_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，則所有滿足T_m=3c_m+1的正整數(shù)m的值為3．

Answer 1

分析 由題意確定數(shù)列{c_n}的項，然后分類求解滿足T_m=3c_m+1的正整數(shù)m的值．

解答 解：a_n=3ⁿ，b_n=3n，
由題意知，c₁=a₁=3，c₂=c₃=c₄=3，c₅=a₂=9，c₆=c₇=c₈=c₉=c₁₀=c₁₁=3，c₁₂=a₃=27，…，
則當m=1時，T₁=3≠3c₂=9，不合題意；
當m=2時，T₂=6≠3c₃=9，不合題意；
當m=3時，T₃=9=3c₄=9，適合題意．
當m≥4時，若c_m+1=3，則T_m≥12≠3c_m+1，不適合題意，
從而c_m+1必是數(shù)列{a_n}中的某一項a_k+1，
則T_m=a₁+3+3+3+a₂+3+3+3+3+3+3+a₃+3+…+3+a₄+3+…+a₅+3+…+a₆+…+a_k-1+3+…+a_k，
=（3+3²+3³+…+3^k）+9[1+2+…+（k-1）]
=$\frac{3（1-{3}^{k}）}{1-3}+9•\frac{（1+k-1）（k-1）}{2}$=$\frac{{3}^{k+1}-3+9{k}^{2}-9k}{2}$，
又3c_m+1=3a_k+1=3×3^k+1，
∴$\frac{{3}^{k+1}-3+9{k}^{2}-9k}{2}$=3×3^k+1，即5×3^k=3k²-3k-1，
上式顯然無解．
即當m≥4時，T_m≠3c_m+1，
綜上知，滿足題意的正整數(shù)m的值為3．
故答案為：3．

點評 本題考查等差、等比數(shù)列的前n項和公式，考查數(shù)列的分組求和，同時考查邏輯推理能力，關鍵是對題意的理解，屬有一定難度題目．