Question

7．定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18．若函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在R上至少有四個零點，則a的取值范圍是0＜a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 可證偶函數(shù)f（x）的周期為2，可作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結合可得．

解答 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，
令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
由f（-1）=f（1）可得f（1）=0，
∴f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為2的偶函數(shù)，
當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²，
圖象為開口向下，頂點為（3，0）的拋物線，
∵函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在R上至少有四個零點，
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，
要使函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在R上至少有四個零點，
令g（x）=log_a（|x|+1），則需g（2）≥f（2），
代值可得log_a（2+1）≥f（2）=-2，
∴可得log_a3≥-2，∴3≤$\frac{1}{{a}^{2}}$，解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又∵a＞0，∴0＜a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：0＜a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的零點和周期性，涉及數(shù)形結合的方法，屬中檔題．