Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+2，a∈R．
（1）若a＜0時，試求函數(shù)y=f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）如果對于一切x₁、x₂、x₃∈[0，1]，總存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，試求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導函數(shù)，令f'（x）＜0，結合a＜0，可得函數(shù)單調遞減區(qū)間；
（2）先確定0＜a＜2，再求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性與最小值，進而可確定正實數(shù)a的取值范圍．

解答 （1）解：f'（x）=3x²+2ax-a²=3（x+a）（x-$\frac{a}{3}$），
 令f'（x）＜0，∵a＜0，∴$\frac{a}{3}$＜x＜-a，
∴函數(shù)單調遞減區(qū)間（$\frac{a}{3}$，-a）；
（2）由題設知，f（0）＜f（1）+f（1），即2＜2（-a²+a+3），
∴-1＜a＜2，
∵a＞0，∴0＜a＜2，
∵f'（x）=3（x+a）（x-$\frac{a}{3}$），
∴x∈（0，$\frac{a}{3}$）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（$\frac{a}{3}$，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
∴當x=$\frac{a}{3}$時，f（x）有最小值f（$\frac{a}{3}$）=-$\frac{5}{27}$a³+2，
∴f（$\frac{a}{3}$）=-$\frac{5}{27}$a³+2＞0①，f（0）＜2（-$\frac{5}{27}$a³+2）②，f（1）＜2（-$\frac{5}{27}$a³+2）③，
由①得a＜$\frac{3\root{3}{2}}{\root{3}{5}}$；由②得a＜$\frac{3}{\root{3}{5}}$，
∵0＜a＜2，
∴0＜a＜$\frac{3}{\root{3}{5}}$
不等式③化為$\frac{10}{27}$a³-a，
2+a-1＜0，則g（a）=$\frac{10}{9}$a²-2a+1＞0，
∴g（a）為增函數(shù)，
∵g（2）=-$\frac{1}{27}$＜0，
∴當（0，$\frac{3}{\root{3}{5}}$）時，g（a）＜0恒成立，即③成立
∴正實數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{3}{\root{3}{5}}$）．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查存在性問題的研究，正確求導是關鍵，屬于中檔題．