Question

18．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右端點(diǎn)分別為A，B，P是橢圓E上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP，BP分別交y軸于M，N．若O為原點(diǎn)，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$ 的值．

Answer 1

分析 設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出直線PA和PB的方程，取x=0求得M，N的坐標(biāo)，得到向量$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），則
∵A（-3，0），B（3，0），
又直線PA：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），直線PB：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），
令x=0，得：$\overrightarrow{OM}$=（0，$\frac{3{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$），$\overrightarrow{ON}$=（0，$\frac{-3{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$），
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{-9{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的運(yùn)用，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是中檔題．