Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=4，a₂+a₆=26；各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}中，a₅•b₄=1，b₃=4b₅
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式
（2）記c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過將出現(xiàn)的項(xiàng)均用首項(xiàng)和公差（公比）表示出來，聯(lián)立方程組，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知c_n=（3n+1）$\frac{1}{{2}^{8-n}}$，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，2a₁+6d=26，
即8+6d=26，解得：d=3，
∴a_n=4+3（n-1）=3n+1，
∵q²=$\frac{_{5}}{_{3}}$=4，q＞0，
∴q=2，
∴b₁=$\frac{1}{{a}_{5}{q}^{3}}$=$\frac{1}{16•8}$=$\frac{1}{{2}^{7}}$，
∴b_n=$\frac{1}{{2}^{8-n}}$；
（2）由（1）可知c_n=a_n•b_n=（3n+1）$\frac{1}{{2}^{8-n}}$，
∴T_n=4•$\frac{1}{{2}^{7}}$+7•$\frac{1}{{2}^{6}}$+…+（3n+1）$\frac{1}{{2}^{8-n}}$，
2T_n=4•$\frac{1}{{2}^{6}}$+7•$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+（3n-2）$\frac{1}{{2}^{8-n}}$+（3n+1）$\frac{1}{{2}^{7-n}}$，
錯(cuò)位相減得：-T_n=4•$\frac{1}{{2}^{7}}$+3（$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+$\frac{1}{{2}^{8-n}}$）-（3n+1）$\frac{1}{{2}^{7-n}}$
=4•$\frac{1}{{2}^{7}}$+3•$\frac{\frac{1}{{2}^{6}}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n+1）$\frac{1}{{2}^{7-n}}$
=4•$\frac{1}{{2}^{7}}$+3•（$\frac{1}{{2}^{7-n}}$-$\frac{1}{{2}^{6}}$）-（3n+1）$\frac{1}{{2}^{7-n}}$
=-$\frac{1}{{2}^{6}}$-$\frac{2-3n}{{2}^{7-n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{3n-2}{{2}^{7-n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．